Explicație pas cu pas:
[tex]f(x)=ax²+bx+c[/tex]
8.
[tex]A(1;2); B(-1;6); C(2;3)[/tex]
[tex]f(1) = 2 = > a + b + c = 2[/tex]
[tex]f( - 1) = 6 = > a - b+c = 6[/tex]
[tex]f(2) = 3 = > 4a+2b+c = 3 \\ c = 3 - 4a - 2b[/tex]
[tex]a + b + 3 - 4a - 2b = 2 \\ a - b + 3 - 4a - 2b = 6[/tex]
[tex]3a + b = 1 \\ - 3a - 3b = 3[/tex]
[tex] - 2b = 4 = > b = - 2[/tex]
[tex]3a = 1 + 2 \\ 3a = 3 = > a = 1[/tex]
[tex]c = 3 - 4 + 4 = > c = 3[/tex]
[tex]= > f(x) = x² - 2x + 3[/tex]
9.
[tex]A(-2;20); B(-1;12); C(2;0)[/tex]
[tex]f(-2) = 20 = > 4a - 2b+c = 20 \\ f(-1) = 12 = > a - b+c = 12 \\ = > c = 12 - a + b\\ f(2) = 0 = > 4a+2b+c = 0[/tex]
[tex]4a - 2b + 12 - a + b = 20 \\ 4a+2b + 12 - a + b = 0[/tex]
[tex]3a - b = 8 \\ 3a + 3b = - 12[/tex]
[tex]4b = - 20 = > b = - 5[/tex]
[tex]3a = 8 - 5 = > a = 1[/tex]
[tex]c = 12 - 1 - 5 = > c = 6[/tex]
[tex]= > f(x) = x² - 5x + 6[/tex]
10.
[tex]V(4;-4); A(0;12)[/tex]
[tex]f0) = 12 = > c = 12[/tex]
[tex]f(4) = - 4 = > 16a + 4b + 12 = - 4 \\16a + 4b = - 16 = > 4a + b = - 4[/tex]
[tex] V(4;-4) = > - \frac{b}{2a} = 4 \\ = > b = - 8a[/tex]
[tex]4a - 8a = - 4 = > a = 1 \\ b = - 8[/tex]
[tex]= > f(x) = {x}^{2} - 8x + 12[/tex]
11.
[tex]a_1, a_2, ..., a_n ∈ R[/tex]
[tex]f(x) = (x-a_1)² + (x-a_2)² + ... + (x-a_n)² = ({x}^{2} - 2a_1x + a^{2} _1) + ({x}^{2} - 2a_2x + a^{2} _2) + ... + ({x}^{2} - 2a_nx + a^{2} _n)[/tex]
[tex]f(x) = n {x}^{2} - 2(a_1 + a_2 + ... + a_n)x + (a^{2} _1 + a^{2} _2 + ... + a^{2} _n)[/tex]
f este o funcție de gradul doi, de forma:
[tex]f(x)=ax²+bx+c[/tex]
deoarece coeficientul lui x² este pozitiv => funcția este strict crescătoare și are un minim pentru
[tex]x = - \frac{b}{2a} [/tex]
adică:
[tex]x = - \frac{- 2(a_1 + a_2 + ... + a_n)}{2n} \\ = > x = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} [/tex]
=> media aritmetică a sumei
[tex]a_1 + a_2 + ... + a_n[/tex]
este punct de minim global
