Răspuns:
Presupunem că [tex]\sqrt{2}+1\in\mathbb{Q}\Rightarrow\sqrt{2}+1=q\in\mathbb{Q}\Rightarrow\sqrt{2}=q-1[/tex]
Dar [tex]\sqrt\noti2\notin\mathbb{Q}, \ q-1\in\mathbb{Q}[/tex], contradicție.
Presupunem că
[tex]\sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{Q}\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}=q\in\mathbb{Q}\Rightarrow 2+3+\sqrt{6}=q^2\Rightarrow \sqrt{6}=\displaystyle\frac{q^2-5}{2}[/tex]
Dar [tex]\sqrt{6}\notin\mathbb{Q}, \ \displaystyle\frac{q^2-5}{2}\in\mathbb{Q}[/tex], contradicție.
Analog se face și ultimul.
Presupunem
[tex]\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}=q\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{5}=q-\sqrt{7}\Rightarrow 7+2\sqrt{10}=q^2+7-2q\sqrt{7}\Rightarrow 2\sqrt{10}+2q\sqrt{7}=q^2\Rightarrow 40+28q^2+8q\sqrt{70}=q^4\Rightarrow\sqrt{70}=\displaystyle\frac{q^4-40-28q^2}{8q}[/tex]
Dar membrul stâng nu este rațional, pe când membrul drept este rațional, contradicție.
Explicație pas cu pas:
