👤
ENFARAPAROLA2015
a fost răspuns

S=1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+4...+...
S<0.9

S112112311234 Slt09 class=

Răspuns :

ENANDYILYE

Răspuns:

19

Explicație pas cu pas:

[tex]S = \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + ... + \frac{1}{1 + 2 + ... + n} > 0.9 \\ [/tex]

[tex]\frac{1}{ \frac{2 \times 3}{2} } + \frac{1}{ \frac{3 \times 4}{2} } + \frac{1}{ \frac{4 \times 5}{2} } + ... + \frac{1}{ \frac{n(n + 1)}{2} } > 0.9 \\ [/tex]

[tex]\frac{2}{2 \times 3} + \frac{2}{3 \times 4} + \frac{2}{4 \times 5} + ... + \frac{2}{n(n + 1)} > \frac{9}{10} \\ [/tex]

[tex]2\Big( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \Big) > \frac{9}{10} \\ [/tex]

[tex]2\Big( \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} \Big) > \frac{9}{10} \iff \frac{2}{2} - \frac{2}{n + 1} > \frac{9}{10} \\ [/tex]

[tex]1 - \frac{9}{10} > \frac{2}{n + 1} \iff \frac{2}{n + 1} < \frac{1}{10} \\ \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{20} \iff n + 1 > 20 \\ \implies \bf n > 19 \iff n \geqslant 20[/tex]

pentru n ≥ 20, S > 0,9 și cel mai mic număr de termeni este 19

[tex]S = \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + ... + \frac{1}{1 + 2 + ... + 20} > 0.9 \\[/tex]

ENTARGOVISTE44

[tex]\it 1+2+3+\ ...\ +n=\dfrac{n(n+1)}{2} \Rightarrow\dfrac{1}{1+2+3+\ ...\ +n}=\dfrac{2}{n(n+1)}\\ \\ \\ Suma\ devine:\\ \\ \\ S=2\Big(\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\ ...\ +\dfrac{1}{n(n+1)}\Big)[/tex]

Observăm că suma conține n-1 termeni, deci trebuie să determinăm

cea mai mică valoare a lui n-1, pentru care S > 0,9 .

[tex]\it Folosind\ formula\ \ \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1},\ \ \ suma\ \ devine:\\ \\ \\ S=2\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ ...\ +\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\Big)=2\Big(\dfrac{^{n+1)}1}{\ \ 2}-\dfrac{^{2)}1}{n+1}\Big)=\\ \\ \\ =2\cdot\dfrac{n-1}{2(n+1)}=\dfrac{n-1}{n+1}[/tex]

[tex]S > 0,9 \Rightarrow \dfrac{n-1}{n+1} > \dfrac{9}{10} \Rightarrow10(n-1) > 9(n+1) \Rightarrow 10(n-1) > 9[(n-1)+2] \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 10(n-1) > 9(n-1)+18 \Rightarrow 10(n-1)-9(n-1) > 18 \Rightarrow n-1 > 18 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow n-1\geq19[/tex]

Prin  urmare, cel mai mic număr de termeni ai sumei S,

pentru care S > 0,9, este egal cu 19.

Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!


En Trainingsy: Alte intrebari