Răspuns:
a) Evident [tex]e^3=e[/tex].
Dar [tex]a^3=a, \ b^3=b, \ c^3=c[/tex].
Deci [tex]e[/tex] este singura soluție
b) [tex]ae=a, \ a^2=e[/tex]
Atunci [tex]ab=b[/tex] sau [tex]ab=c[/tex].
Dacă [tex]ab=b\Rightarrow a=e[/tex], contradicție. Deci [tex]ab=c[/tex].
c) Presupunem că există un izomorfism [tex]f:K\to\mathbb{Z}_4[/tex]
Rezultă că f este bijectivă.
Avem [tex]f(e)=\hat{0}[/tex]
[tex]\hat{0}=f(e)=f(a^2)=f(a)+f(a)\Rightarrow f(a)=\hat{2}[/tex]
Analog [tex]f(b)=\hat{2}, \ f(c)=\hat{2}[/tex], deci f nu ar mai fi bijectivă.
Rezultă că grupurile nu sunt izomorfe.
Explicație pas cu pas:
