Explicație pas cu pas:
x și y cifre în baza 10
a) Determinați numerele naturale de forma 2y2 trei puncte 4
Un număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale numărului formează un număr divizibil cu 4.
[tex]\overline {2y2} : 4 \implies \overline {y2} : 4[/tex]
[tex]\overline {y2} \in \{12; 32; 52; 72; 92\}[/tex]
[tex]\implies \overline {2y2} \in \{212; 232; 252; 272; 292\} \\ [/tex]
b) aflati suma numerelor de forma 13xy divizibile cu 2 si 3
[tex]\overline {13xy} : 2 \: si \: 3[/tex]
Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă are ultima cifră pară.
Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3.
[tex]y \in \{0; 2; 4; 6; 8\}[/tex]
[tex]1 + 3 + x + y = 4 + x + y[/tex]
[tex]y = 0 \iff 4 + x + 0 = 4 + x \implies x \in \{2; 5; 8\}[/tex]
[tex]\implies \overline {13xy} \in \{1320; 1350; 1380\} \\ [/tex]
[tex]y = 2 \iff 4 + x + 2 = 6 + x \implies x \in \{0; 3; 6; 9\}[/tex]
[tex]\implies \overline {13xy} \in \{1302; 1332; 1362; 1392\} \\[/tex]
[tex]y = 4 \iff 4 + x + 4 = 8 + x \implies x \in \{1; 4; 7\}[/tex]
[tex]\implies \overline {13xy} \in \{1314; 1344; 1374\} \\ [/tex]
[tex]y = 6 \iff 4 + x + 6 = 10 + x \implies x \in \{2; 5; 8\}[/tex]
[tex]\implies \overline {13xy} \in \{1326; 1356; 1386\} \\ [/tex]
[tex]y = 8 \iff 4 + x + 8 = 12 + x \implies x \in \{0; 3; 6; 9\}[/tex]
[tex]\implies \overline {13xy} \in \{1308; 1338; 1368; 1398\} \\[/tex]
Suma:
[tex]S = 1320 + 1350 + 1380 + 1302 + 1332 + 1362 + 1392 + 1314 + 1344 + 1374 + 1326 + 1356 + 1386 + 1308 + 1338 + 1368 + 1398 = 22950[/tex]
c) determinati toate numerele de forma 7x0y trei puncte 5
Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă are ultima cifră 0 sau 5.
[tex]\overline {7x0y} : 5 \implies y \in \{0; 5\}[/tex]
[tex]x \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}[/tex]
[tex]y = 0 \implies \overline {7x0y} \in \{7000; 7100; 7200; 7300; 7400; 7500; 7600; 7700; 7800; 7900\} \\[/tex]
[tex]y = 5 \implies \overline {7x0y} \in \{7005; 7105; 7205; 7305; 7405; 7505; 7605; 7705; 7805;;7905\} \\ [/tex]
