Explicație pas cu pas:
5.a)
[tex]f(x) = \frac{1+ {x}^{2} }{1- {x}^{2} } \\ [/tex]
[tex]1 - {x}^{2} = (1 - x)(1 + x)[/tex]
[tex]=> x \not = - 1 \: si \: x \not = 1[/tex]
[tex]D = \mathbb{R} - \{-1 ; 1\} [/tex]
5.b)
[tex]f'(x) = \left(\frac{1+ {x}^{2} }{1- {x}^{2} } \right)' = \frac{\left(1+ {x}^{2} \right)'(1- {x}^{2}) - (1+ {x}^{2})\left(1- {x}^{2} \right)' }{(1- {x}^{2})^{2} } \\ = \frac{2x(1- {x}^{2}) - (1+ {x}^{2})( - 2x) }{(1- {x}^{2})^{2} } = \frac{2x - 2{x}^{3} + 2x + 2{x}^{3}}{(1- {x}^{2})^{2} } \\ = \frac{4x}{(1- {x}^{2})^{2} }[/tex]
5.c)
[tex]f'(x) = 0 => \frac{4x}{(1- {x}^{2})^{2} } = > x = 0 \\ [/tex]
[tex]f(0) = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \\ [/tex]
[tex]=> \left( 0;1 \right) \: este \: punct \: de \: minim \\ [/tex]
din tabelul semnelor => intervale de monotonie:
[tex]- \infty < x < - 1 = > f(x) \: este \: descrescatoare \\ [/tex]
[tex] - 1 < x < 0 = > f(x) \: este \: descrescatoare \\ [/tex]
[tex]0 < x < 1 = > f(x) \: este \: crescatoare \\ [/tex]
[tex]1 < x < + \infty = > f(x) \: este \: crescatoare \\ [/tex]
5.d)
[tex]f''(x) = \left( f(x) \right)' = \left( \frac{4x}{(1- {x}^{2})^{2} } \right)' \\ = 4 \cdot \frac{(x)'(1- {x}^{2})^{2} - x((1- {x}^{2})^{2})'}{(1- {x}^{2})^{4}} \\ = 4 \cdot \frac{(1- {x}^{2})^{2} - x( - 4x(1- {x}^{2}))}{(1- {x}^{2})^{4}} \\ = \frac{4(3 {x}^{2} + 1)}{(1- {x}^{2})^{3} }[/tex]
[tex]f''(x) = 0 = > \frac{4(3 {x}^{2} + 1)}{(1- {x}^{2})^{3} } = 0 \\ [/tex]
=> fără soluții în mulțimea numerelor reale
din tabelul semnelor => intervale de concavitate și convexitate
[tex]- \infty < x < - 1 = > f(x) \: este \: concava \\ [/tex]
[tex] - 1 < x < 1= > f(x) \: este \: convexa \\ [/tex]
[tex]1 < x < + \infty = > f(x) \: este \: concava \\ [/tex]
