Explicație pas cu pas:
[tex]f'(x) = \left( \frac{1 - {e}^{x} }{1 + {e}^{x}} \right)' \\ [/tex]
[tex]= \frac{\left(1- {e}^{x} \right)' (1 + {e}^{x}) - \left(1 + {e}^{x} \right)' (1 - {e}^{x})}{ {(1 + {e}^{x})}^{2} } \\ [/tex]
[tex]= \frac{- {e}^{x} (1 + {e}^{x}) - {e}^{x} (1 - {e}^{x})}{ {(1 + {e}^{x})}^{2} } \\ [/tex]
[tex]= \frac{- {e}^{x} - {e}^{2x} - {e}^{x} + {e}^{2x}}{ {(1 + {e}^{x})}^{2} } \\ [/tex]
[tex]= \frac{- 2{e}^{x}}{ {(1 + {e}^{x})}^{2} } < 0 \\ [/tex]
f(x) < 0 => f(x) este descrescătoare pe R
