Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = {e}^{x} - x - 1[/tex]
a) aplicăm l'Hospital de două ori:
[tex]\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{x} \right) = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{{e}^{x} - x - 1}{x} \right) \\ = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left({e}^{x} - x - 1 \right)^{\prime}}{x^{\prime}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ {e}^{x} - 1}{2x} \\ = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left({e}^{x} - 1 \right)^{\prime}}{(2x)^{\prime}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ {e}^{x} }{2} = \frac{1}{2} [/tex]
b) derivata funcției:
[tex]f(x)^{\prime} = \left(e^{x} - x - 1 \right)^{\prime} = e^{x} - 1[/tex]
[tex]f(x)^{\prime} = 0 = > e^{x} - 1 = 0 \\ e^{x} = 1 = > x = 0[/tex]
→ puncte de extrem local ale funcției:
[tex]f(0) = {e}^{0} - 0 - 1 = 1 - 1 = 0[/tex]
→
[tex] = > \left(0 ; 0\right) \: punct \: de \: minim[/tex]
c)
f(x) descrescătoare pe intervalul: -∞ < x < 0
f(x) crescătoare pe intervalul: 0 < x < +∞
[tex]\left(0 ; 0\right) \: punct \: de \: minim \\ = > f(x) \geqslant 0[/tex]
→
[tex]{e}^{x} - x - 1 \geqslant 0 = > {e}^{x} \geqslant x + 1[/tex]
q.e.d.
