Explicație pas cu pas:
a) asimptotă orizontală spre +∞:
[tex]lim_{x \rightarrow + \infty }\left(\frac{ ln(x) }{x} \right) = lim_{x \rightarrow + \infty }\left(\frac{ \left(ln(x) \right)^{\prime}}{x^{\prime}} \right) \\ = lim_{x \rightarrow + \infty }\left( \frac{ \frac{1}{x} }{1} \right) = lim_{x \rightarrow + \infty }\left( \frac{1}{x} \right) = 0[/tex]
→ dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞
b) derivata funcției:
[tex]f^{\prime}(x) = \left( \frac{ ln(x) }{x} \right)^{\prime} \\ = \frac{\left( ln(x) \right)^{\prime}\cdot x - x^{\prime}\cdot ln(x) }{ {x}^{2} } \\ = \frac{ \frac{1}{x}\cdot x - 1\cdot ln(x) }{ {x}^{2} } = \frac{1 - ln(x) }{ {x}^{2} } [/tex]
c) intervale de monotonie:
[tex]f^{\prime}(x) = 0 = > \frac{1 - ln(x) }{ {x}^{2} } = 0 \\ 1 - ln(x) = 0 < = > ln(x) = 1 = > x = e [/tex]
[tex]lim_{x \rightarrow {0}^{+}}\left(\frac{ ln(x) }{x} \right) = lim_{x \rightarrow {0}^{+} }\left(ln(x)\right)\cdot lim_{x \rightarrow {0}^{+}}\left(\frac{1}{x} \right) \\ = ( - \infty )\cdot \infty = - \infty [/tex]
[tex]f(e) = \frac{ ln(e) }{e} = \frac{1}{e} \\ = > \left(e ; \frac{1}{e} \right) \: punct \: de \: maxim[/tex]
f(x) este crescătoare pentru 0 < x < e
f(x) este descrescătoare pentru e < x < +∞
