👤
a fost răspuns

Se consideră matricele [tex]$A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$[/tex] şi [tex]$M(x, y)=\left(\begin{array}{ll}x & y \\ 3 & 4\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$x$[/tex][ şi [tex]$y$[/tex] sunt numere reale.

[tex]$5 p$[/tex] 1. Arătați că det [tex]$A=3$[/tex].

5p 2. Determinaţi numerele reale [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex] astfel încât [tex]$M(x, y)=A+4 I_{2}$[/tex].

5p 3. Determinați numărul real y pentru care [tex]$\operatorname{det}(M(0, y))=9$[/tex].

5p 4. Arătaţi că [tex]$A \cdot A \cdot A-A \cdot A=-3 A$[/tex].

5p 5. Determinaţi numerele reale [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex], ştiind că [tex]$A \cdot M(x, y)=M(x, y) \cdot A$[/tex].

5p 6. Demonstrați că, dacă [tex]$m$[/tex] şi [tex]$n$[/tex] sunt numere întregi pentru care [tex]$M(m,-n) \cdot M(-m, n)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$[/tex], atunci numărul [tex]$N=m-n$[/tex] este pătratul unui număr natural.

Răspuns :

[tex]A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]M(x, y)=\left(\begin{array}{ll}x & y \\ 3 & 4\end{array}\right)[/tex]

1)

Calculam detA, facem diferenta dintre produsul diagonalelor

detA=0-(-3)=3

2)

[tex]M(x, y)=\left(\begin{array}{ll}x & y \\ 3 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}5 & -1 \\ 3 &4\end{array}\right)[/tex]

x=5

y=-1

3)

det(M(0,y))=9

[tex]det(M(0, y))=\left|\begin{array}{ll}0 & y \\ 3 & 4\end{array}\right|=0-3y=-3y[/tex]

-3y=9

y=-3

4)

[tex]A\cdot A =\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2 & -1 \\ 3 & -3\end{array}\right)\\\\A\cdot A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-2 & -1 \\ 3 & -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5 & 2 \\ -6 & -3\end{array}\right)\\\\[/tex]

[tex]A\cdot A\cdot A-A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-5 & 2 \\ -6 & -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-2 & -1 \\ 3 & -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3 & 3\\ -9 & 0\end{array}\right)=-3A[/tex]

5)

[tex]A\cdot M(x,y)=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}x & y \\ 3 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}x-3 & y-4 \\ 3x & 3y\end{array}\right)[/tex]

[tex]M(x,y)\cdot A= \left(\begin{array}{ll}x & y \\ 3 & 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}x+3y & -x \\ 15 & -3\end{array}\right)[/tex]

Egalam termenii si obtinem:

3x=15

x=5

3y=-3

y=-1

6)

[tex]M(m, -n)\cdot M(-m,n)=\left(\begin{array}{ll}m & -n \\ 3 & 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}-m & n \\ 3 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}-m^2-3n &mn-4n \\ -3m+12 & 3n+16\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ll}-m^2-3n &mn-4n \\ -3m+12 & 3n+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}-1&0\\0 & 1\end{array}\right)[/tex]

Egalam termenii si obtinem:

-m²-3n=-1

m²+3n=1

mn-4n=0

mn=4n

-3m+12=0

3m=12

m=4

3n+16=1

3n=-15

n=-5

N=m-n=4+5=9=3², patrat perfect

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928505

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!


En Trainingsy: Alte intrebari