Explicație pas cu pas:
5.
[tex](x + i {y}^{2})^{3} = {x}^{3} + 3{x}^{2}i{y}^{2} + 3x {(i{y}^{2})}^{2} + {(i{y}^{2})}^{3} \\ = {x}^{3} + 3{x}^{2}i{y}^{2} - 3x{y}^{4} - i{y}^{6} \\ = ({x}^{3} - 3x{y}^{4}) + (3{x}^{2}{y}^{2} - {y}^{6})i[/tex]
număr pur imaginar:
Re(z) = 0
Im(z) ≠ 0
[tex]Re(z) = {x}^{3} - 3x{y}^{4} = > {x}^{3} - 3x{y}^{4} = 0 \\ x( {x}^{2} - 3 {y}^{4}) = 0 \\ x_{1} = 0 \\ {x}^{2} - 3 {y}^{4} = 0 < = > {x}^{2} = 3 {y}^{4} \\ x_{2} = \sqrt{3} {y}^{2} \\ x_{3} = - \sqrt{3} {y}^{2}[/tex]
[tex]Im(z) = 3{x}^{2}{y}^{2} - {y}^{6} = {y}^{2}(3 {x}^{2} - {y}^{4})[/tex]
Verificăm ca partea imaginară să fie nenulă:
1.
[tex]x_{1} = 0 = > Im(z) = {y}^{2}(3 {x}^{2} - {y}^{4}) = - {y}^{6} \\[/tex]
2.
[tex]x_{2} = {y}^{2} \sqrt{3} = > Im(z) = {y}^{2}(3 \times 3 {y}^{4} - {y}^{4}) = 8 {y}^{6} \\[/tex]
3.
[tex]x_{3} = - {y}^{2} \sqrt{3} = > Im(z) = {y}^{2}(3 \times 3 {y}^{4} - {y}^{4}) = 8 {y}^{6} \\ [/tex]
Im(z) ≠ 0 => y ≠ 0
→
[tex]x_{1} = 0; \: x_{2} = \sqrt{3} {y}^{2}; \: x_{3} = - \sqrt{3} {y}^{2}[/tex]
și y ≠ 0
