👤
a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+2 x-2 \ln (x+1)$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătaţi că [tex]$f^{\prime}(x)=\frac{2 x(x+2)}{x+1}, x \in(-1,+\infty)$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] b) Determinaţi numărul real [tex]$a \in(-1,+\infty)$[/tex], știind că tangenta la graficul funcției [tex]$f$[/tex] în punctul [tex]$A(a, f(a))$[/tex] este paralelă cu dreapta de ecuație [tex]$y=3 x+2020$[/tex].

c) Demonstrați că [tex]$(x+1)^{2} \geq 2 \ln (x+1)+1$[/tex], pentru orice [tex]$x \in(-1,+\infty)$[/tex].

Răspuns :

[tex]f(x)=x^{2}+2 x-2 \ln (x+1)[/tex]

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

[tex]f'(x)=2x+2-\frac{2}{x+1} =\frac{2x^2+2x+2x+2-2}{x+1}=\frac{2x^2+4x}{x+1} =\frac{2x(x+2)}{x+1}[/tex]

b)

Doua drepte sunt paralele daca au pantele egale

Panta dreptei y=3x+2020 este 3

Panta tangentei la graficul functiei f in punctul A(a,f(a)) este f'(a)

Deci f'(a)=3

[tex]\frac{2a(a+2)}{a+1} =3\\\\2a^2+4a=3a+3\\\\2a^2+a-3=0\\\\\Delta=1+24=25\\\\a_1=\frac{-1+5}{4} =1\\\\a_2=\frac{-1-5}{4} =-\frac{3}{2} < -1\ Nu[/tex]

c)

Monotonia functiei f

f'(x)=0

2x(x+2)=0

x=0 si x=-2

Facem tabel semn

x      -1         0           +∞

f'(x)  - - - - - 0 + + + + +

f(x)     ↓     f(0)     ↑

                  0

f(0)=0

f este descrescatoare pe (-1,0] si crescatoare pe [0,+∞)

f(x)≥f(0)

f(x)≥0

x²+2x-2ln(x+1)≥0

x²+2x+1-1-2ln(x+1)≥0

(x+1)²≥1+2ln(x+1)

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919082

#BAC2022

#SPJ4

Vezi imaginea ANDREEAP
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!


En Trainingsy: Alte intrebari