[tex]f(x)=x-\ln \left(e^{x}+x-1\right)[/tex]
a)
Folosim tabelul de derivate (vezi atasament)
[tex]f'(x)=1-\frac{e^x+1}{e^x+x-1} =\frac{e^x+x-1-e^x-1}{e^x+x-1} =\frac{x-2}{e^x+x-1}[/tex]
b)
Asimptota orizontala
Calculam limita spre +∞
[tex]\lim_{x \to +\infty} x-ln(e^x+x-1)= \lim_{x \to +\infty} lne^x-ln(e^x+x-1)=ln(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x+x-1} )=[/tex]
Aplicam L'Hopital, derivam numarator si derivam numitor
[tex]ln(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x+1} )=[/tex]
Aplicam iar L'Hopital
[tex]ln(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x})=ln1=0[/tex]
Dreapta de ecuatie y=0 este asimptota orizontala spre +∞
c)
Facem monotonia functiei f
f'(x)=0
x-2=0
x=2
Tabel semn
x 0 2 +∞
f'(x) - - - - - - - - -0 + + + + +
f(x) ↓ f(2) ↑
f este descrescatoare pe (0,2] si crescatoare pe [2,+∞)
f(2)=2-ln(e²+1)
[tex]\lim_{x \to 0} f(x)=0-ln(1+0-1)=+\infty\\\\ \lim_{x +\to \infty} f(x)=0\ (demonstrat\ la\ punctul\ a)[/tex]
Imaginea functiei f este [2-ln(e²+1),+∞)
Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905461
#BAC2022
#SPJ4
