Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = {x}^{2}{e}^{x} [/tex]
domeniul de definiție: x ∈ R
intersecția cu axa Ox:
y = 0 => f(x) = 0 => x = 0 => (0;0)
intersecția cu axa Oy:
x = 0 => f(x) = 0 => (0;0)
asimptotă orizontală: y = 0
derivata de ordin 1:
[tex]f^{\prime}(x) = ({x}^{2}{e}^{x})^{\prime} = 2x{e}^{x} + {x}^{2}{e}^{x} = x{e}^{x}(x + 2) \\ [/tex]
[tex]f^{\prime}(x) = 0 = > x{e}^{x}(x + 2) = 0 \\ [/tex]
[tex]x = 0 = > f(x) = 0[/tex]
[tex]x + 2 = 0 = > x = - 2 \\ = > f( - 2) = \frac{4}{{e}^{2} }[/tex]
punct de maxim:
[tex]\left( - 2 ;\frac{4}{ {e}^{2} } \right) \\ [/tex]
punct de minim:
[tex]\left(0;0 \right) \\ [/tex]
monotonie:
[tex]f(x) \: crescătoare: \: - \infty < x < - 2 \\ [/tex]
[tex]f(x) \: descrescătoare: \: - 2 < x < 0 \\ [/tex]
[tex]f(x) \: crescătoare: \: 0 < x < + \infty [/tex]
derivata de ordin 2:
[tex]f(x)" = (2x{e}^{x} + {x}^{2}{e}^{x})' = {e}^{x}( {x}^{2} + 4x + 2) \\ [/tex]
[tex]f(x)" = 0 = > {e}^{x}( {x}^{2} + 4x + 2) = 0[/tex]
→
[tex]x_{1} = - \sqrt{2} - 2[/tex]
[tex]= > f(- \sqrt{2} - 2) = {e}^{ - \sqrt{2} - 2}(6 + 4 \sqrt{2}) \\ [/tex]
și
[tex]x_{2} = \sqrt{2} - 2[/tex]
[tex]= > f( \sqrt{2} - 2) = {e}^{ \sqrt{2} - 2}(6 - 4 \sqrt{2}) \\ [/tex]
puncte de inflexiune:
[tex]\left( - \sqrt{2} - 2;{e}^{ - \sqrt{2} - 2}(6 + 4 \sqrt{2})\right) si \left( \sqrt{2} - 2 ;{e}^{ \sqrt{2} - 2}(6 - 4 \sqrt{2})\right)[/tex]
[tex]f(x) \: convexa: - \infty < x < - \sqrt{2} - 2 \\ [/tex]
[tex]f(x) \: concava: - \sqrt{2} - 2 < x < \sqrt{2} - 2 \\ [/tex]
[tex]f(x) \: convexa: \sqrt{2} - 2 < x < + \infty \\ [/tex]
