👤
a fost răspuns

Se consideră matricea [tex]$A(a)=\left(\begin{array}{ll}2 & a \\ 0 & 2\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$a$[/tex] este număr real.

5p 1. Arătați că [tex]$\operatorname{det}(A(a))=4$[/tex], pentru orice număr real [tex]$a$[/tex].

5p 2. Arătați că [tex]$A(0) \cdot A(2020)=2 A(2020)$/[tex].

5p 3. Demonstrați că [tex]$A(-a) \cdot A(a)=4 I_{2}$[/tex], pentru orice număr real [tex]$a$[/tex], unde [tex]$I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$[/tex].

5p 4. Determinaţi numerele naturale nenule [tex]$m$[/tex] şi [tex]$n$[/tex] pentru care [tex]$A(m) \cdot A(n)=2 A(2)$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] 5. Determinați numerele reale [tex]$a$[/tex] pentru care [tex]$A\left(a^{2}\right)-2 A(a)+A(-3)=O_{2}$[/tex], unde [tex]$O_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$[/tex].

5p 6. Demonstrați că există o infinitate de perechi de numere reale [tex]$(x, y)$[/tex] pentru care [tex]$A(-3) \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2 y \\ 2 x+y\end{array}\right)$[/tex]

Răspuns :

[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ll}2 & a \\ 0 & 2\end{array}\right)[/tex]

1)

Aratati ca det(A(1))=4

Inlocuim pe a cu 1 si apoi facem diferenta dintre produsul diagonalelor

[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right|=4-0=4[/tex]

2)

Calculam A(0)·A(2020)

[tex]A(0)\cdot A(2020)=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}2 & 2020 \\ 0 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4& 4040\\ 0 & 4\end{array}\right)=2A(2020)[/tex]

3)

Calculam A(-a)·A(a)

[tex]A(-a)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{ll}2 & -a \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}2 & a \\ 0 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4& 0\\ 0 & 4\end{array}\right)=4I_2[/tex]

4)

Calculam A(m)·A(n) si egalam cu 2A(2)

[tex]A(m)\cdot A(n)=\left(\begin{array}{ll}2 & m \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}2 &n \\ 0 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4 & 2(m+n) \\ 0 & 4\end{array}\right)[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{ll}4 & 2(m+n) \\ 0 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4 & 4 \\ 0 & 4\end{array}\right)[/tex]

2(m+n)=4

m+n=2

m=1 si n=1

5)

Calculam A(a²)-2A(a)+A(-3)=O₂

[tex]\left(\begin{array}{ll}2 & a^2 \\ 0 & 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}4& 2a \\ 0 & 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}2 & -3 \\ 0 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ll}0 & a^2-2a-3 \\ 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)[/tex]

a²-2a-3=0

Δ=b²-4ac

Δ=4+12=16

[tex]a_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{2+4}{2} =3\\\\a_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{2-4}{2}=-1[/tex]

6)

[tex]\left(\begin{array}{ll}2 & -3 \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}x\\y\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}-2y\\2x+y\\\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ll}2x-3y \\ 2y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}-2y\\2x+y\\\end{array}\right)[/tex]

2x-3y=-2y

2y=2x+y

2x=y⇒exista o infinitate de numere x si y care verifica relatia

Un exercitiu cu calculul determinantului gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1009507

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!


En Trainingsy: Alte intrebari