Răspuns:
a = 12
b = 24
c = 36
d = 48
Explicație pas cu pas:
[tex]\frac{a+b+c}{6} = \frac{b+c+d}{9} = \frac{a+c+d}{8} = \frac{a+b+d}{7} = k[/tex]
unde k este un număr pe care-l vom calcula ulterior.
Din șirul de egalități de mai sus rezultă:
a+b+c = 6k (1)
b+c+d = 9k (2)
a+c+d = 8k (3)
a+b+d = 7k (4)
Acum ne ocupăm de relația 3a+4b+5c+6d = 600
Desfășurăm termenii pentru a-i putea grupa în funcție de cele 4 egalități de mai sus:
a+a+a + b+b+b+b + c+c+c+c+c + d+d+d+d+d+d = 600
Grupăm termenii:
(b+c+d) + (b+c+d) + (b+c+d) + (a+b+d) + (a+c+d) + (a+c+d) = 600
Am folosit parantezele pentru a înlocui mai ușor sumele respective cu corespondentul fiecăreia, conform egalităților (1), (2), (3) și (4):
9k + 9k + 9k + 7k + 8k + 8k = 600
50k = 600 ⇒ k = 12
Știind pe k, egalitățile de mai sus devin:
a+b+c = 72 (1)
b+c+d = 108 (2)
a+c+d = 96 (3)
a+b+d = 84 (4)
Efectuăm (2) - (1): ⇒ b+c+d - a-b-c = 108-72 ⇒ d-a = 36 ⇒ a = d-36 (5)
Efectuăm (3) - (1): ⇒ a+c+d - a-b-c = 96-72 ⇒ d-b = 24 ⇒ b = d-24 (6)
Efectuăm (4) - (1): ⇒ a+b+d - a-b-c = 84-72 ⇒ d-c = 12 ⇒ c = d-12 (7)
În relația (1) înlocuim pe a, b și c conform relațiilor (5), (6) și (7):
a+b+c = 72 ⇒ d-36 + d-24 + d-12 = 72 ⇒ 3d = 144 ⇒ d = 48
Știind pe d, din relațiile (5), (6) și (7) calculăm pe a, b și c:
a = 48 - 36 ⇒ a = 12
b = 48 - 24 ⇒ b = 24
c = 72 - 12 ⇒ c = 36
Verificare:
3a+4b+5c+6d = 3×12 + 4×24 + 5×36 + 6×48 = 36 + 96 + 180 + 288 = 600
Rezultatul este conform enunțului, deci calculele noastre au fost corecte!
