👤
a fost răspuns

Se consideră matricea [tex]$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right)$[/tex] și sistemul de ecuații [tex]$\left\{\begin{array}{c}2 x+a y+z=1 \\ (a-3) x+a y+z=2 a-1, \\ 3 x+(2 a-1) y+z=1\end{array}\right.$[/tex] unde [tex]$a$[/tex] este număr real.

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că det [tex]$(A(0))=5$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care sistemul de ecuații este compatibil determinat.

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] c) Determinați numărul real [tex]$a$[/tex], știind că sistemul de ecuații are soluție unică [tex]$\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$[/tex] şi [tex]$x_{0}, y_{0}$[/tex] și [tex]$z_{0}$[/tex] sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Răspuns :

[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right)[/tex]

a)

Calculam det(A(0)), inlocuind pe a cu 0 si adaugand primele doua linii ale determinantului:

[tex]det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                       2      0    1

                      -3      0    1

det(A(0))=(0+3+0)-(0-2+0)=3+2=5

b)

Sistemul este compatibil determinat daca det(A(a))≠0

[tex]det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                         2          a        1

                      a-3          a        1

det(A(a))=[2a+(a-3)(2a-1)+3a]-(3a+4a-2+a²-3a)=2a+2a²-7a+3a+3-4a+2-a²=a²-6a+5

a²-6a+5≠0

Δ=36-4×5=16

[tex]a\neq \frac{6+4}{2} \neq 5\\\\a\neq \frac{6-4}{2} \neq 1[/tex]

a∈R\{1,5}                      

c)

Vom rezolva prin metoda lui Cramer

Notam determinantul sistemului cu Δ

[tex]\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|=a^2-6a+5=(a-1)(a-5)[/tex]

Formam [tex]\Delta_x[/tex], inlocuind coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

[tex]\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ 2a-1 & a & 1 \\ 1 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                1            a       1

            2a-1           a       1

[tex]\Delta_x=(a+4a^2-4a+1+a)-(a+2a-1+2a^2-a)=2a^2-4a+2=2(a-1)^2[/tex]

[tex]x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{2(a-1)}{a-5}[/tex]

Formam [tex]\Delta_y[/tex], inlocuind coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

[tex]\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ a-3 & 2a-1 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right|[/tex]

              2           1        1

           a-3        2a-1      1

[tex]\Delta_y=(4a-2+a-3+3)-(6a-3+2+a-3)=-2a+2=-2(a-1)\\\\y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-2}{a-5}[/tex]

Formam [tex]\Delta_z[/tex], inlocuind coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

[tex]\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 2a-1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|\\[/tex]

              2           a           1

            a-3          a        2a-1

[tex]\Delta_z=(2a+2a^2-7a+3+6a^2-3a)-(3a+8a^2-8a+2+a^2-3a)=-a^2+1=-(a-1)(a+1)\\\\z=\frac{\Delta_z}{\Delta} =-\frac{a+1}{a-5}[/tex]

x,y,z sunt in progresie aritmetica, adica 2y=x+z

[tex]-\frac{4}{a-5} =\frac{2(a-1)}{a-5}-\frac{a+1}{a-5}\\\\ -4=2a-2-a-1\\\\ -1=a[/tex]

a=-1

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3898882

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!


En Trainingsy: Alte intrebari