Răspuns :
[tex]x * y=\frac{x y}{2 x y-x-y+1}[/tex]
a)
[tex]\frac{1}{3} *\frac{1}{3} =\frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} }{2 \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} +1}=\frac{\frac{1}{9} }{\frac{2}{9}-\frac{2}{3}+1 } =\frac{\frac{1}{9} }{\frac{2}{9}-\frac{6}{9}+\frac{9}{9} }=\\\\=\frac{\frac{1}{9} }{\frac{5}{9} }=\frac{1}{5}[/tex]
b)
Element neutru:
x*e=x
[tex]x * e=\frac{xe}{2 x e-x-e+1}=x[/tex]
Inmultim pe diagonala si obtinem:
xe=2x²e-x²-xe+x
2x²e-x²-2xe+x=0
Dam factor comun intre primii doi termeni pe x² si intre ultimii doi termeni pe x
x²(2e-1)-x(2e-1)=0
Dam factor comun pe (2e-1)
(2e-1)(x²-x)=0
2e-1=0
[tex]e=\frac{1}{2}[/tex]
c)
Izomorfism=au aceleași proprietăți intrinseci: orice proprietate a elementelor primei structuri se transpune pe cea de-a doua prin izomorfismul stabilit.
f(x*y)=f(x)·f(y)
[tex]f(x*y)=\frac{1}{x*y}-1=\frac{1}{\frac{xy}{2xy-x-y+1} } -1=\frac{2xy-x-y+1}{xy} -\frac{xy}{xy}=\frac{xy-x-y+1}{xy}[/tex]
[tex]f(x)\cdot f(y)=(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)=\frac{1}{xy}-\frac{1}{x} -\frac{1}{y}+1=\frac{1-y-x+xy}{xy}=\frac{xy-x-y+1}{xy}=f(x*y)[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}-1=\frac{1}{0}-1=+\infty\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{1}{1}-1=0[/tex]
Din cele trei relatii de mai sus rezulta ca f este izomorfism de la grupupl (G,*) la grupul (M,·)
Un exercitiu similar cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1030778
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!