Răspuns :
[tex]f(x)=(x+1) e^{-x}[/tex]
a)
Derivam functia f prin formula (fg)'=f'g+fg'
f'(x)=(x+1)'e⁻ˣ +(x+1)(e⁻ˣ)'=e⁻ˣ-(x+1)e⁻ˣ=e⁻ˣ(1-x-1)=-xe⁻ˣ
b)
f(n)=(n+1)e⁻ⁿ
(f(n))ⁿ=[(n+1)e⁻ⁿ]ⁿ
f(n+1)=(n+2)e⁻ⁿ⁻¹
(f(n+1))ⁿ=[(n+2)e⁻ⁿ⁻¹]ⁿ
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{[(n+1)e^{-n}]^n}{e^n[(n+2)e^{-n-1}]^n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{(n+1)e^{-n}}{e(n+2)e^{-n-1}} )^n= \lim_{n \to \infty} (\frac{(n+1)e^{-n}}{(n+2)e^{-n}} )^n[/tex]
Se simplifica e⁻ⁿ si ne ramane:
[tex]\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n+2})^n=1^{\infty}[/tex]
Avem o limita remarcabila in care vom face urmatorul artificiu de calcul:
[tex]\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n+2})^n=\lim_{n \to \infty}(\frac{n+2-1}{n+2})^n= \lim_{n \to \infty}[ (1+\frac{-1}{n+2})^{-(n+2)} ]^{\frac{-n}{n+2}}=\\\\=e ^{ \lim_{n \to \infty} \frac{-n}{n+2} }=e^{-1} =\frac{1}{e}[/tex]
c)
f'(x)=0
-xe⁻ˣ=0
x=0
Facem tabel semn
x -∞ 0 +∞
f'(x) + + + + +0 - - - - -
f(x) ↑ f(0) ↓
1
f(0)=(0+1)e⁰=1
f este crescatoare pe (-∞,0) si descrescatoare pe (0,+∞) ⇒ f are doua solutii reale distincte, m∈(0,1)
Un exercitiu similar cu limite gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4614641
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!