Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{e^{x}}{x}[/tex]
[tex]g(x)=e^{x} \ln x[/tex]
a)
Pentru a calcula integrala va trebui sa inlocuim f(x), astfel vom obtine:
[tex]\int\limits^2_1 {x\frac{e^x}{x} } \, dx[/tex]
Se va simplifica x cu x si vom obtine:
[tex]\int\limits^2_1 {e^x } \, dx=e^x\ |_1^2=e^2-e=e(e-1)[/tex]
b)
Pentru a calcula integrala va trebui sa inlocuim g(x), astfel vom obtine:
[tex]\int\limits^{e^2}_e {\frac{e^x\times lnx}{xe^x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx[/tex]
Il vom scrie pe [tex]\frac{1}{x} =(lnx)'[/tex]
[tex]\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {lnx\times (lnx)' } \, dx[/tex]
Stim ca (uⁿ)'=(n-1)uⁿ⁻¹×(u)'
Adica (ln²x)'=2lnx×(lnx)', astfel vom adauga si vom "da inapoi" un 2
[tex]\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx =\frac{1}{2} \int\limits^{e^2}_e {2lnx\times (lnx)' } \, dx=\frac{1}{2} ln^2x\ |_e^{e^2}=\frac{1}{2}ln^2e^2-\frac{1}{2}ln^2e=2-\frac{1}{2} =\frac{3}{2}[/tex]
c)
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx +\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx[/tex]
Luam cea de-a doua integrala si o vom integra prin parti, astfel:
[tex]f=lnx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'=\frac{1}{x} \\\\g=e^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g=e^x[/tex]
[tex]\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx=e^xlnx\ _1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx[/tex]
Vom inlocui ce am aflat pentru a afla integrala noastra din cerinta:
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx +\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx=\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx+e^xlnx\ _1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx[/tex]
Observam ca cele doua integrale se reduc si ne va ramane:
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =e^xlnx\ _1^e=e^elne-e^1ln1=e^e[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1021443
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!