Răspuns :
[tex]f(x)=e^{x}\left(x^{2}-4 x+1\right)[/tex]
a)
Pentru a deriva folosim formula de derivare
(f×g)=f'g+fg'
[tex]f'(x)=(e^{x}\left(x^{2}-4 x+1\right))'=e^x(x^2-4x+1)+(2x-4)e^x=e^x(x^2-2x-3)[/tex]
x²-2x-3=x²-1-2x-2=(x-1)(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x-3)
[tex]f'(x)=e^x(x+1)(x-3)[/tex]
b)
Daca doua drepte sunt paralele, atunci pantele sunt egale
y=2020
m=0 (m-panta)
Fie A(a,f(a)) punctul in care este tangenta la graficul functiei f
f'(a)=m
f'(a)=0
[tex]f'(a)=e^a(a-3)(a+1)=0[/tex]
De aici avem a-3=0
a=3
si a+1=0
a=-1
Abscisele punctelor situate pe graficul funcției , în care tangenta la graficul funcţiei este paralelă cu dreapta de ecuație y=2020 sunt -1 si 3
c)
Facem monotonia functiei f
f'(x)=0
eˣ(x-3)(x+1)=0
x=3 si x=-1
Facem tabel semn
x -∞ -1 3 +∞
f'(x) + + + + +0- - - -0+ + + +
f(x) ↑ f(-1) ↓ f(3) ↑
[tex]\frac{6}{e}[/tex] [tex]-2e^3[/tex]
f este crescatoare pe (-∞,-1)∪(3,+∞) si descrescatoare pe (-1,3)
[tex]f(-1)=e^{-1}(1+4+1)=e^{-1}\times6=\frac{6}{e} \\\\f(e)=e^3(9-12+1)=-2e^3[/tex]
Calculam limita spre -∞ si +∞ din functia noastra
[tex]\lim_{x \to -\infty} e^x(x^2-4x+1)=e^{-\infty}(\infty+\infty)=0\\\\ e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty} }=\frac{1}{\infty} =0[/tex]
[tex]\lim_{x \to \infty} e^x(x^2-4x+1)=+\infty[/tex]
Graficul functiei f intersecteaza dreapta de ecuatie y=a in 3 puncte⇒ f(x)=a are 3 solutii reale
[tex]a\in(0,\frac{6}{e})\bigcap(-2e^3,\frac{6}{e})\bigcap(-2e^3,+\infty) \\\\a\in (0,\frac{6}{e} )[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3464284
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!