Răspuns :
[tex]f(x)=x(x+2) e^{x}[/tex]
a)
[tex]\int\limits^3_0 {\frac{x(x+2)e^x}{e^x} } \, dx =\int\limits^3_0 {x(x+2)} \, dx =\int\limits^3_0 {x^2+2x} \, dx[/tex]
Desfacem in doua integrale si obtinem:
[tex]\int\limits^3_0 {x^2} \, dx +\int\limits^3_0 {2x} \, dx=\frac{x^3}{3} |_0^3+x^2|_0^3=9+9=18[/tex]
b)
[tex]\int\limits^1_0 {x(x+2) e^{x}} \, dx =\int\limits^1_0 {x^2e^x+2xe^x} \, dx[/tex]
Desfacem in doua integrale si obtinem:
[tex]\int\limits^1_0 {x^2e^x+2xe^x} \, dx =\int\limits^1_0 {x^2e^x} \, dx +\int\limits^1_0 {2xe^x} \, dx[/tex]
Le luam separat integralele si calculam:
[tex]\int\limits^1_0 {x^2e^x} \, dx =I[/tex]
Am notat integrala noastra cu I si o vom rezolva prin integrare prin parti
f=x² f'=2x
g'=eˣ g=eˣ
[tex]I=x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx[/tex]
Ne intorcem la integrala noastra si inlocuim ce am obtinut mai sus
[tex]\int\limits^1_0 {f(x)} \, dx =x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx +2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx =x^2e^x|_0^1=e[/tex]
c)
[tex]\int\limits^n_1 {\frac{(x+1)e^x}{x(x+2)e^x} } \, dx =\int\limits^n_1 {\frac{x+1}{x(x+2)} } \, dx=\int\limits^n_1 {\frac{x+1}{x^2+2x} } \, dx[/tex]
Observam ca (x²+2x)'=2x+2=2(x+1)
Vom adauga un 2 si il "vom da inapoi"
[tex]\frac{1}{2} \int\limits^n_1 {\frac{2(x+1)}{x^2+2x} } \, dx=\frac{1}{2}ln(x^2+2x)|_1^n=\frac{ln(n^2+2n)}{2}-\frac{ln3}{2}[/tex]
[tex]\frac{ln(n^2+2n)}{2}-\frac{ln3}{2}=\frac{3ln2}{2}[/tex]
[tex]ln\frac{n^2+2n}{3}=ln2^3\\\\ \frac{n^2+2n}{3}=8\\\\n^2+2n-24=0[/tex]
Δ=4+96=100
[tex]n=\frac{-2+10}{2} =4[/tex]
n=4
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1021443
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!