Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{1-3 \ln x}{x^{4}}[/tex]
[tex]F(x)=\frac{\ln x}{x^{3}}[/tex]
a) F este o primitiva a lui f, inseamna ca F'(x)=f(x)
Vom calcula F'(x) folosind formula [tex](\frac{f}{g}) '=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]
[tex]F'(x)=(\frac{\ln x}{x^{3}})'=\frac{\frac{1}{x}\times x^3-3x^2\times lnx }{x^6} =\frac{x^2-3x^2\times lnx }{x^6}[/tex]
Dam factor comun la numarator pe x² si simplificam cu numitorul si obtinem:
[tex]F'(x)=\frac{x^2(1-3lnx)}{x^6} =\frac{1-3lnx}{x^4} =f(x)[/tex]⇒F este o primitiva a lui f
b)
Ne folosim de punctul a, F'(x)=f(x)⇒
[tex]\int\limits^e_1 {f(x)} \, dx =F(x)|_1^e=\frac{lnx}{x^3}|_1^e=\frac{lne}{e^3}-\frac{ln1}{1^3}=\frac{1}{e^3}[/tex]
c)
[tex]\int\limits^{e^2}_e {x^2\times \frac{lnx}{x^3} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {\frac{lnx}{x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {lnx\times (lnx)' } \, dx =\frac{1}{2}ln^2x |_e^{e^2}=\frac{1}{2}ln^2e^2-\frac{1}{2} ln^2e =2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Nota:
[tex]\frac{1}{x} =(lnx)'\\\\(ln^2x)'=2lnx\times (lnx)'=\frac{2lnx}{x}[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/55614
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!