Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x[/tex]
a)
Ne folosim de tabelul derivatelor (cel atasat)
[tex](\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]
[tex]f'(x)=(\frac{x-1}{x+1})'+(\ln (x+1))'-(\ln x)'=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2} +\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x} =\\\\f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x} =\frac{2+x+1}{(x+1)^2} -\frac{1}{x}[/tex]
Aducem la acelasi numitor, prima fractie amplificam cu x si pe a doua cu (x+1)²
[tex]f'(x)=\frac{(3+x)x-(x+1)^2}{x(x+1)^2}=\frac{3x+x^2-x^2-2x-1}{x(x+1)^2}=\frac{x-1}{x(x+1)^2}[/tex]
b)
Pentru a determina ecuatia asimptotei orizontale, vom calcula limita spre +∞
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x= \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln\frac{x+1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+ \lim_{x \to \infty} \ln\frac{x+1}{x}[/tex]
Vom calcula cele doua limite, pe rand
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}=1[/tex] (gradul numaratorului=gradul numitorului)
Nota: Daca gradele mari ale numaratorului, respectiv numitorului sunt egale atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor.
In cazul nostru coeficientii sunt 1 si 1, adica raport=1
[tex]\lim_{x \to \infty} \ln\frac{x+1}{x}=ln( \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x})=ln1=0[/tex] (gradul numaratorului=gradul numitorului)
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x= 1+0=1[/tex]
Ecuatia asimptotei orizontale spre +∞ este y=1
c)
Studiem monotonia functiei
[tex]f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x(x+1)^{2}}=0[/tex]
x-1=0
x=1
Facem tabel semn
x -∞ 0 1 +∞
f'(x) | - - - - - 0 + + + + +
f(x) | ↓ ↓ ↓f(1) ↑ ↑ ↑ ↑
ln2
f(1)=0+ln2-ln1=ln2
ln2>0⇒ Gf nu intersecteaza axa OX
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/743485
#BAC2022
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!