Se consideră funcţia [tex]$f:(-5,5) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=\frac{74}{3}$[/tex]. [tex]$5 \mathbf{b} \quad$[/tex] b) Calculați [tex]$\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] c) Pentru fiecare număr natural nenul [tex]$n$[/tex], se consideră numărul [tex]$I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x$[/tex]. Demonstraţi că şirul [tex]$\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$[/tex] este monoton.

Question

Matematică

a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f:(-5,5) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=\frac{74}{3}$[/tex]. [tex]$5 \mathbf{b} \quad$[/tex] b) Calculați [tex]$\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] c) Pentru fiecare număr natural nenul [tex]$n$[/tex], se consideră numărul [tex]$I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x$[/tex]. Demonstraţi că şirul [tex]$\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$[/tex] este monoton.

Răspuns :

Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!

En Trainingsy: Alte intrebari

Rezolvați Aceasta Ecuație, Va Rog

Salut Va Rog Sa Ma Ajuți Limba Română Alege Prin Încercuire Sensul Corect Pentru Cuvântul Subliniat. • Câteva Raze Timide Se Strecuraseră Printre Picăturile De

X/3+x/4=1 1/6 Rezultate.

12. Completează Enunţurile Cu Informații Din Text: Ciobanul Bucur Avea Multe Oi: Ucenicii Lui Bucur Erau Pricepuți La: Tătarii Au Furat Din Turma Lui Bucur:

8. O Parcare În Formă De Dreptunghi Are Lungimea L = (x + 2) Dam, Lățimea L=(x-2) Dam, X> 2, Şi Diagonala De 20 Dam. Calculați Aria Parcării.va Rog, Dau 25 D

Va Rog Mult Sa Ma Ajutati Si Pe Mine La Ex 2!!

Soluția Corecta A Expresie Din Poza

Vă Rog Să Mă Ajutați

75. La Analiza Cantitativă A 63,8 Dintr-o Hexapeptidă Care Contine Lizină, Cisteină Și Serină, Au Rezultat 8,96 Ml N2 Și 6,4 Mg SO2. Raportul Molar cisteină :

Scrie Pe Spatiile De Mai Jos: a)explicația Potrivita Pentru Expresiile/secventele Sunt O Pisica De Rasa Pura

ENANDREEAP ENANDREEAP · Answer 1

[tex]f(x)=\sqrt{25-x^{2}}[/tex]

a)

[tex]\int\limits^1_0 {25-x^2} \, dx =\int\limits^1_0 {25} \ dx -\int\limits^1_0 x^2} \ dx =25x\ |_0^1-\frac{x^3}{3}\ |_0^1=25-\frac{1}{3} =\frac{75-1}{3} =\frac{74}{3}[/tex]

Nota: am desfacut integrala in doua integrale, apoi folosim formula din tabelul de integrale (cel atasat)

b)

[tex]\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x=-\int_{-3}^{0}x f(x) d x+\int_{0}^{3}x f(x) d x[/tex]

[tex]-\int_{-3}^{0}x f(x) d x+\int_{0}^{3}x f(x) d x=-\int_{-3}^{0}x \sqrt{25-x^2} d x+\int_{0}^{3}x \sqrt{25-x^2} d x[/tex]

Luam integrala separat si o calculam

[tex]\int\limits x{\sqrt{25-x^2} } \, dx[/tex]

Ne folosim de tabelul de integrale compuse (atasat)

[tex]\int\limits{\sqrt{u}\times u' } \, dx =\frac{2}{3} u\sqrt{u}[/tex]

In cazul nostru [tex]u=\sqrt{25-x^2}[/tex], atunci il scriem pe x ca fiind [tex]\frac{-1}{2} (25-x^2)'[/tex]

[tex]\int\limits x{\sqrt{25-x^2} } \, dx=-\frac{1}{2} \int\limits {(25-x^2)'} \sqrt{25-x^2} \, dx =-\frac{1}{2}\times\frac{2}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}=-\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}[/tex]

Ne intoarcem mai sus sa calculam integrala ceruta

[tex]-\int_{-3}^{0}x \sqrt{25-x^2} d x+\int_{0}^{3}x \sqrt{25-x^2} d x=\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}\ |_{-3}^0-\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}\ |_0^3=[/tex]

[tex]=\frac{1}{3} \times25\times\sqrt{25} -\frac{1}{3} \times16\times \sqrt{16} -(\frac{1}{3} \times16\times \sqrt{16} -\frac{1}{3} \times25\times\sqrt{25})=\\\\=\frac{125}{3} -\frac{64}{3} -\frac{64}{3}+\frac{125}{3}=\frac{122}{3}[/tex]

c)

[tex]I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x[/tex]

Pentru a face monotonia unui sir va trebui sa calculam [tex]I_{n+1}-I_n[/tex], daca acesta este >0, atunci sirul este crescator, iar daca este <0 este descrescator

[tex]I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \frac{1}{(\sqrt{25-x^2})^{n+1} } } d x-\int_{0}^{1} \frac{1}{(\sqrt{25-x^2})^{n} } } d x[/tex]

[tex]I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \frac{1-\sqrt{25-x^2} }{(\sqrt{25-x^2})^{n+1} } } d x[/tex]

Pentru x∈[0,1] [tex]1-\sqrt{25-x^2} < 0[/tex]

Pentru x∈[0,1] [tex]\sqrt{25-x^2} > 0\ adica \ (\sqrt{25-x^2})^{n+1} > 0[/tex]

Din cele doua rezulta ca [tex]I_{n+1}-I_n < 0[/tex], adica sirul este descrescator

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4506298

#BAC2022