Răspuns :
[tex]A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x\end{array}\right)[/tex]
a)
Calculam A(1), inlocuind pe x cu 1, apoi calculam det(A(1)), adaugand primele doua linii
[tex]A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)[/tex]
[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right|[/tex]
1 1 -1
1 0 1
det(A(1))=(0-1-1)-(0+1+1)=-2-2=-4
b)
Demonstrati ca [tex]{det}(A(x) A(y)-A(2 x y))=0[/tex]
Calculam prima data A(x)A(y)
[tex]A(x)A(y)=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}y & 1 & -y \\ 1 & 0 & 1 \\ -y & 1 & y\end{array}\right)=\\\\\left(\begin{array}{ccc}2xy+1 &0 & -2xy+1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2xy+1 & 0 & 2xy+1\end{array}\right)[/tex]
Apoi calculam A(x)A(y)-A(2xy)
[tex]A(x)A(y)-A(2xy)=\left(\begin{array}{ccc}2xy+1 &0 & -2xy+1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2xy+1 & 0 & 2xy+1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2xy &1 & -2xy \\ 1 & 0 & 1 \\ -2xy & 1 & 2xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 &-1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)[/tex]
Calculam det(A(x)A(y)-A(2xy))
[tex]det(A(x)A(y)-A(2xy))=\left|\begin{array}{ccc}1 &-1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|[/tex]
1 -1 1
-1 2 -1
det(A(x)A(y)-A(2xy))=(2+1+1)-(2+1+1)=4-4=0
c)
[tex]A(1) A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2) A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(1010) A\left(\frac{1}{2020}\right)=n I_{3}[/tex]
Ne folosim de punctul b, stim ca
[tex]A(x)A(y)=\left(\begin{array}{ccc}2xy+1 &0 & -2xy+1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2xy+1 & 0 & 2xy+1\end{array}\right)[/tex]
Observam ca daca [tex]y=\frac{1}{2x}[/tex] atunci
[tex]A(x)A(y)=A(x)A(\frac{1}{2x})= \left(\begin{array}{ccc}2 &0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)[/tex]
Dam factor comun pe 2 si vom obtine:
[tex]A(x)A(y)=A(x)A(\frac{1}{2x})= 2\times \left(\begin{array}{ccc}1 &0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=2I_3[/tex]
[tex]A(1) A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2) A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(1010) A\left(\frac{1}{2020}\right)=n I_{3}[/tex]
Observam ca fiecare termen va fi egal cu 2I₃. Avem 1010 termeni deci suma noastra va fi egala cu:
[tex]A(1) A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2) A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(1010) A\left(\frac{1}{2020}\right)=1010\times 2I_3[/tex]
[tex]1010\times 2I_3=nI_3[/tex]
De aici rezulta ca n=2020
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1009519
#BAC2022
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!