Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}[/tex]
a)
Ne folosim de formula:
[tex](\frac{f}{g} )'=\frac{f'\times g-f\times g'}{g^2}[/tex]
Calculam f'(x)
[tex]f'(x)=(\frac{1}{(x-1)^{2}})'-(\frac{1}{x^{2}})'=\frac{1'\times(x-1)^2-((x-1)^2)'}{(x-1)^4} -\frac{1'\times x^2-(x^2)'}{x^4}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4} -\frac{-2x}{x^4} =\frac{-2}{(x-1)^3} +\frac{2}{x^3}[/tex]
Aducem la acelasi numitor, prima fractie o amplificam cu x³ si a doua cu (x-1)³ si vom avea aceeasi linie de fractie
[tex]f'(x)=\frac{-2x^3+2(x-1)^3}{x^3(x-1)^3} =\frac{-2x^3+2x^3-6x^2+6x-2}{x^3(x-1)^3} =\frac{-6x^2+6x-2}{x^3(x-1)^3} =\frac{-2(3x^2-3x+1)}{x^3(x-1)^3}[/tex]
b) Ecuatia unei drepte care trece printr-un punct A
[tex]y-y_A=m(x-x_A)[/tex], unde m=panta dreptei
Daca 2 drepte sunt paralele atunci pantele vor fi egale
Panta dreptei care este paralela cu tangenta la graficul functiei f in punctul de abscisa x=2 este f'(2)
[tex]f'(2)=\frac{-2(3\times 2^2-3\times 2+1)}{2^3(2-1)^3}=\frac{-14}{8} =-\frac{7}{4}[/tex]
Ecuatia dreptei va fi:
[tex]y-3=-\frac{7}{4} (x-0)\\\\y-3=-\frac{7x}{4} \\\\y=-\frac{7x}{4}+3[/tex]
c) Ne folosim de limita remarcabila
[tex]\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x} )^x=e[/tex]
Calculam f(2)+f(3)+...+f(n)
[tex]f(2)+f(3)+...+f(n)=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9} +...+\frac{1}{(n-1)^2} -\frac{1}{n^2}[/tex]
Observam ca se reduc termenii si ne ramane:
[tex]f(2)+f(3)+...+f(n)=1-\frac{1}{n^2}[/tex]
Calculam limita si obtinem:
[tex]\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n^2} )^{n^2}= \lim_{n \to \infty} [(1+(-\frac{1}{n^2} )^-^{n^2}]^{-1}=e^{-1}=\frac{1}{e}[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3635705
#BAC2022
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, vă rugăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne va bucura, iar pentru acces rapid, nu uitați să ne salvați la favorite!