Răspuns:
Exercițiul 1
[tex] \frac{1 + 2 + 3 + ... + 100}{2 + 4 + 6 + ... + 200} = \\ \\ = \frac{100 \times 101 \div 2}{2(1 + 2 + 3 + ... + 100)} = \\ \\ = \frac{50 \times 101}{2 \times 100 \times 101 \div 2} = \\ \\ = \frac{5050}{2 \times 5050} = \\ \\ = \frac{1}{2} [/tex]
Exercițiul 2
[tex] \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + ... + \frac{1}{89 \times 90} = \\ \\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{89} - \frac{1}{90} = \\ \\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{90} = \\ \\ = \frac{90 - 1}{90} = \\ \\ = \frac{89}{90} [/tex]
Observații: La cel de-al doilea exercițiu întâlnim o sumă telescopică . Ce înseamnă asta? Toate rapoartele (sau fracțiile) se reduc, in afara de primul și ultimul raport.
La primul exercițiu am utilizat formula lui Gauss.
Succes!
