Răspuns:
Un număr natural p > 1 se numește prim[1] dacă : p | ab atunci p | a sau p | b, unde a, b sunt numere naturale. De exemplu 15 | 3 . 5, dar 15 {\displaystyle \nmid }{\displaystyle \nmid } 3, 15 {\displaystyle \nmid }{\displaystyle \nmid } 5, adică 15 nu este număr prim. Aceasta este o proprietate esențială a numerelor prime, iar cele două definiții sunt echivalente pentru inelul {\displaystyle ({\mathbb {Z} },+,\cdot )}{\displaystyle ({\mathbb {Z} },+,\cdot )}, dar nu sunt echivalente în orice inel integru.
Mulțimea numerelor prime poate fi notată MP={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... infinit} și se poate indexa cu indecși naturali consecutivi astfel: MP={P(1)=2, P(2)=3, P(3)=5, P(4)=7, P(5)=11, P(6)=13, P(7)=17, P(8)=19, P(9)=23,....P(n), P(n+1), ...P(infinit)}, cu P(n) fiind al n-lea numar prim din șirul/mulțimea numerelor prime MP (care este o mulțime cu o infinitate de elemente).
Există de asemenea și o infinitate de subtipuri posibile de numere prime. Un subtip special de numere prime îl constituie numerele prime cu indecși la rândul lor primi (alias "prime-index primes" sau "super-primes"). De exemplu, se poate forma o submulțime (infinitî) MP1 din MP extrăgând toate acele elemente din MP care au indecși primi la rândul lor: MP1={P(2)=3, P(3)=5, P(5)=11, P(7)=17, ... P(al n-lea numar prim), P(al [n+1]-lea numar prim)...P(infinit)}. MP1 se mai numește și "mulțimea (șirul) super-primelor de ordinul 1; și se poate scrie și astfel: MP1={P(P(1))=P(2)=3, P(P(2))=P(3)=5, P(P(3))=P(5)=11, P(P(4))=P(7)=17, ...P(P(n))=P(al n-lea număr prim), P(P(n+1))=P(al [n+1]-lea număr prim), ...P(P(infinit))}.
Analog, se poate defini și MP2={P(P(P(1)))=P(P(2))=P(3)=5, P(P(P(2)))=P(P(3))=P(5)=11, ...P(P(P(n)))=P(P(al n-lea numar prim)), P(P(P(n+1)))=P(P(al [n+1]-lea numar prim)), ...P(P(P((infinit)))}. Iterativ, se poate defini și un număr super-prim de ordin x ca P(P(P...P(n)) (cu x funcții P incluse una în alta) și MPx conținînd toate aceste numere pentru x aparținând mulțimii naturale N*={1, 2, 3, ...infinit}.
