Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a.) Construim AM⊥BC, M∈[BC].
AM⊥BC=> AM=inaltime in triunghiul ABC 1
triunghiul ABC= triunghi echilatral 2
Din 1 si 2 => AM=mediana in triunghiul echilatral=>
AM=[tex]\frac{l\sqrt{3} }{2}[/tex],l=latura triunghiului ABC. =>
=>[tex]AM=\frac{4\sqrt{3} }{2} => AM=2\sqrt{3} cm[/tex]
PA⊥(ABC)(ipoteza) 3
AM⊥BC 4
AM,BC⊂(ABC) 5
Din 3,4,5=> PM⊥BC=> d(P,BC)=PM
PA⊥(ABC) 6
AM⊂(ABC) 7
Din 6,7=> PA⊥AM=>ΔPAM=Δdreptunghic in A.=>(T.P) : [tex]PM^{2}=PA^{2}+AM^{2}=>PM^{2} =3^{2}+(2\sqrt{3} )^{2} =3^{2} +4*3=3(3+4)=3*7=>\\PM=\sqrt{7*3}=\sqrt{21} cm[/tex]
=> d(P,BC)=[tex]\sqrt{21}[/tex] cm
d(A,(PBC))=?
Construiesc AN⊥PM, N∈PM
BC⊥AM 1
BC⊥PM 2
AM∩PM={M} 3
Din 1,2,3=> BC⊥(PAM) 4
AN⊂(PAM) 5
Din 4,5 => AN⊥BC 6
AN⊥PM 7
BC,PM⊂(PBC) 8
BC∩PM={M} 9
Din 6,7,8,9=> AN⊥(PBC)=> d(P,(PBC))=AN
AN=inaltime in triunghiul dreptunghic PAM(am aratat ca este dreptunghic mai sus)
=> AN=[tex]\frac{c1*c2}{ip}[/tex],c1=cateta 1,
c2=cateta 2
ip=ipotenuza
=> AN=[tex]\frac{3*2\sqrt{3} }{\sqrt{21} } =\frac{3*2\sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{7} } =\frac{6}{\sqrt{7} }=\frac{6\sqrt{7} }{7}[/tex] cm => d(A,(PBC)=[tex]\frac{6\sqrt{7} }{7}[/tex] cm
