a) se rezolvă simplu, aplicând teorema fundamentală a asemănării
ME║CD ⇒ ΔBME ~ Δ BCD
⇒ laturile sunt proporționale: EM / CD = BE / BD
ABCD dreptunghi ⇒ CD ≡ AB = 4√3
BE = 3DE ⇒ BD = BE + DE = 4DE
⇒ EM / CD = 3DE / 4DE = 3 / 4
EM / 4√3 = 3 / 4
⇒ EM = 3√3
b) AE ≤ AF, ∀F∈BD se traduce prin „AE este distanța minimă dintre punctul A și dreapta BD”
Distanța minimă dintre un punct A și o dreaptă d este lungimea segmentului dintre A și piciorul perpendicularei dusă prin A pe dreapta d.
Trebuie deci să demonstrăm că ΔAEB este dreptunghic în E.
Folosim funcțiile trigonometrice.
ΔDAB dreptunghic în A ⇒ sin ∡DBA = DA / DB = 4 / DB
DB² = AD² + AB² = 16 + 16 · 3 = 16 · 4
DB = 4 · 2 = 9
sin ∡DBA = 4 / 8 = 1 / 2 ⇒ ∡DBA = 30°
presupunem că ΔAEB dreptunghic în E:
ar trebui să fie adevărată relația cos ∡ABE = EB / AB ①
știm valorile:
cos 30° = √3 / 2
EB = BD · 3/ 4 = 6
AB = 4√3
înlocuim în relația ① și verificăm dacă este adevărată:
√3 / 2 = 6 / 4√3
√3 / 2 = 3 / 2√3
√3 / 2 = 3√3 / 6
√3 / 2 = √3 / 2 adevărat
⇒ presupunerea a fost corectă ⇒ ΔAEB dreptunghic în E
⇔ AE ⊥ BD
⇒ AE distanța de la A la BD
⇔ AE ≤ AF, ∀F ∈ BD
